قانون ۷۲

در جلسهٔ توضیح سود مرکب، معلم یا همکار گاهی می‌گوید: «نرخ را از ۷۲ تقسیم کن، تقریباً می‌فهمی چند سال طول می‌کشد پول دو برابر شود.» این همان قانون ۷۲ است — ابزار ذهنی سبک، نه جایگزین سود مرکب یا سود مرکب سپرده. ماشین‌حساب قانون ۷۲ در فین‌آی همان تقسیم را انجام می‌دهد: سال ≈ ۷۲ ÷ نرخ سالانه (درصد).

چرا ۷۲؟ از log طبیعی و ln(2)≈۰٫۶۹۳ می‌آید؛ ۶۹٫۳ نزدیک‌تر است ولی ۷۲ با اعداد ۶، ۸، ۹، ۱۲ (تقسیم‌پذیر) راحت‌تر در ذهن کار می‌کند. برای آموزش خانواده یا تیم فروش داخلی، یک عدد تمیز بهتر از دقت سوم رقم اعشار است — به شرط بدانید کجا تقریب می‌شکند.

چه فرضی پشت پرده است

قانون ۷۲ فرض می‌کند:

• نرخ ثابت سالانه باشد.
• مرکب مداوم یا نزدیک به مرکب سالانه باشد.
• فقط «دو برابر شدن اصل» مهم باشد، نه واریز ماهانه یا برداشت.
• تورم، مالیات و کارمزد حذف شده باشند.

اگر هر ماه ۵ میلیون اضافه می‌کنید، زمان دوبرابر شدن «کل دارایی» با ۷۲ ÷ r فرق دارد. برای آن ارزش آینده یا واریز ماهانه برای هدف لازم است. قانون ۷۲ برای lump sum آموزشی است: «۱۰۰ میلیون با ۹٪ تقریباً چند سال ۲۰۰ می‌شود؟»

جدول ذهنی سریع (بدون کپی از بروشور بانک)

با ۷۲:

1. ۶٪ → حدود ۱۲ سال تا دو برابر
2. ۸٪ → حدود ۹ سال
3. ۱۲٪ → حدود ۶ سال
4. ۱۸٪ → حدود ۴ سال
5. ۲۴٪ → حدود ۳ سال

برای سپردهٔ کوتاه‌مدت ۵٪، ۷۲ ÷ ۵ = ۱۴٫۴ سال — یعنی بدون واریز اضافه، دو برابر شدن اصل در دنیای واقعی بانک ایران افق بلندی است مگر نرخ یا مدت قرارداد عوض شود. این خودش درس برنامه‌ریزی است: انتظار «سریع غنی شدن» از سپردهٔ کوتاه‌مدت با قانون ۷۲ سریعاً تعدیل می‌شود.

مقایسه با زمان دقیق ln(2)/ln(1+r)

برای ۶٪، دقیق حدود ۱۱٫۹ سال است؛ ۷۲ تقریب ۱۲ می‌دهد — خطای کم. برای ۱۲٪، دقیق حدود ۶٫۱۲ سال؛ ۷۲ می‌گوید ۶ — باز هم خوب. هرچه r پایین‌تر، خطا معمولاً کوچک‌تر است.

هشدار نرخ بالا: جایی که ۷۲ زیاد خوش‌بین می‌شود

وقتی نرخ اسمی خیلی بالا می‌رود — مثلاً ۳۶٪، ۴۸٪، یا عددهایی که در بازارهای پرنوسان یا تبلیغات «سود روزانه» می‌بینید — قانون ۷۲ از زمان واقعی دوبرابر شدن جلوتر می‌افتد (سال تقریبی را کوتاه‌تر نشان می‌دهد). دلیلش این است که تقریب خطی دور ۰٪ ساخته شده؛ در r بالا منحنی (۱+r)^t تندتر خم می‌شود و ۷۲/r دیگر نزدیک ln(2)/ln(1+r) نیست.

مثال آموزشی: ۳۶٪ سالانه. ۷۲ ÷ ۳۶ = ۲ سال. زمان دقیق حدود ۲٫۱۸ سال — هنوز نزدیک. اما ۷۲٪: ۷۲ ÷ ۷۲ = ۱ سال؛ دقیق حدود ۱٫۰۰ سال — مرز. در ۱۰۰٪، ۷۲ می‌گوید ۰٫۷۲ سال؛ دقیق ln(2)/ln(2)=۱ سال — قانون ۷۲ حدود ۲۸٪ خوش‌بینانه کوتاه کرده. در ۲۰۰٪، ۷۲ ÷ ۲۰۰ = ۰٫۳۶ سال؛ دقیق حدود ۰٫۵۱ سال — خطا بزرگ‌تر می‌شود.

نتیجهٔ عملی: برای r بالای حدود ۱۵–۲۰٪، ۷۲ را فقط برای «ترتیب بزرگی» استفاده کنید، نه برای قرارداد یا وعدهٔ بازگشت سرمایه. برای عدد قراردادی، APR به EAR و سپس مرکب واقعی. اگر کسی با ۴۰٪ ماهانه وعده دوبرابر شدن در دو ماه می‌دهد، نه ۷۲ درست است نه EAR ساده — کلاهبرداری یا ریسک فاجعه‌بار جداگانه بررسی می‌شود.

قانون ۷۲ و تورم (ایران و ذهن خانوار)

اگر تورم ۴۰٪ باشد و سپرده ۲۰٪، «دو برابر شدن رقم حساب» با «دو برابر شدن قدرت خرید» یکی نیست. قانون ۷۲ روی nominal کار می‌کند. برای قدرت خرید باید نرخ واقعی (بازده منهای تورم) را در ذهن بگذارید — و آن اغلب برای سپرده منفی یا نزدیک صفر است. بازده واقعی مسیر جدا برای lump sum است.

با این حال ۷۲ برای «چرا پول نقد بی‌حرکت در تورم بالا ذوب می‌شود» آموزشی است: اگر «نرخ از دست رفتن قدرت خرید» را به‌صورت rough مثل ۳۰٪ فرض کنید، ۷۲ ÷ ۳۰ ≈ ۲٫۴ سال تا «دو برابر شدن سطح قیمت‌ها» — نه سرمایه شما. این تفکیک nominal/real در کلاس‌های سواد مالی مهم‌تر از حفظ ۷۲ است.

رابطه با APR و EAR

بانک «۲۰٪ سالانه» می‌گوید ولی ماهانه capitalize می‌کند. نرخ مؤثر کمی بالاتر از ۲۰٪ است. اگر ۷۲ را روی ۲۰٪ nominal بزنید، کمی خوش‌بینانه‌اید. برای دقیق‌تر، EAR را از تبدیل APR به EAR بگیرید و همان را در ۷۲ (یا بهتر ln) استفاده کنید. برای وام، نرخ مؤثر وام خانوادهٔ مشابه دارد ولی طرف بدهی است.

قانون ۷۰ و ۶۹

بعضی متون ۷۰ یا ۶۹٫۳ پیشنهاد می‌دهند برای دقت بیشتر. در فین‌آی ۷۲ استاندارد آموزشی است؛ اگر خودتان ۶۹٫۳ ÷ r را در ذهن بزنید، برای r متوسط بهتر است. تفاوت در ۱۰٪: ۷۲→۷٫۲ سال، ۶۹٫۳→۶٫۹ سال — برای تصمیم خانوادگی هر دو کافی‌اند.

دو برابر vs ده برابر

برای ۱۰ برابر، زمان ≈ ln(10)/ln(1+r). تقریب «قانون ۷۲» تعمیم می‌یابد به ۷۲×log₂(10) ≈ ۲۳۹/r برای دوبرابرهای پشت‌سرهم — در عمل ساده‌تر: هر ۷۲/r سال یک ضربدر دو. سه دوره ۶٪ ≈ ۳۶ سال هشت برابر — نه دقیق ولی برای افق بازنشستگی ذهن را قاب می‌کند. پس‌انداز بازنشستگی عدد دقیق‌تر با واریز ماهانه می‌دهد.

سناریو: مقایسه سپرده و صندوق (بدون وعده)

۱۰۰ میلیون، سپرده ۲۰٪ nominal با EAR نزدیک ۲۲٪ — ۷۲ ÷ ۲۲ ≈ ۳٫۳ سال برای دو برابر nominal. صندوق با بازده ۲۵٪ اعلامی گذشته: ۷۲ ÷ ۲۵ ≈ ۲٫۹ سال — اگر ۲۵٪ تکرار شود که نمی‌شود. قانون ۷۲ اینجا فقط مقایسهٔ نظم بزرگی است: صندوق پرریسک ممکن است سریع‌تر یا کندتر از تقریب باشد. مقایسه صندوق و سپرده برای یک افق مشخص lump sum است.

سناریو: آموزش نوجوان

«اگر ۱۸٪ بگیری (فرضی)، حدود ۴ سال پول دو برابر می‌شود اگر هیچ نکشی و نریزی.» بعد همان روز بگویید: «۱۸٪ تضمینی نیست؛ سپرده الان کمتر است.» ۷۲ برای انگیزهٔ مفهوم مرکب، نه برای انتخاب محصول.

خطاهای رایج

• استفاده از نرخ ماهانه در ۷۲ بدون ×۱۲ — ۲٪ ماهانه ≠ ۲٪ سالانه.
• فراموش کردن واریز دوره‌ای.
• اعتماد به ۷۲ برای r>۳۰٪ در قرارداد.
• مقایسه دوبرابر nominal با هدف خرید خانه بدون تورم.

چه وقت فرم فین‌آی را بزنید

وقتی در جلسه یا مقاله عدد r دارید و می‌خواهید سریع سال تقریبی را ببینید یا در کلاس نشان دهید ۷۲ ÷ ۶ = ۱۲. وقتی r بالا یا قرارداد حقوقی است، مرکب و EAR. وقتی مهلت و هدف دارید، واریز ماهانه یا چند ماه تا هدف.

قانون ۷۲ ابزار گفتگو است: در راهکار، در مذاکرهٔ حقوق («اگر پس‌اندازم ۸٪ real باشد…»)، در فهم اینکه چرا شروع زود با مبلغ کم گاهی از شروع دیر با مبلغ زیگ‌تر برنده است — چون زمان در توان است. اما هر تقریب سقف دارد؛ بالای نرخ‌های متوسط، هشدار نرخ بالا را جدی بگیرید و زمان واقعی را با مرکب یا EAR بسنجید، نه فقط ۷۲ روی تبلیغ.

جدول خطای تقریبی (برای کلاس و مذاکره)

زمان دقیق دوبرابر = ln(2) / ln(1 + r). اختلاف با ۷۲/r به‌صورت درصد خطا:

• ۴٪: دقیق ≈ ۱۷٫۷ سال؛ ۷۲/r = ۱۸ — خطا ناچیز.
• ۱۰٪: دقیق ≈ ۷٫۳ سال؛ ۷۲/r = ۷٫۲ — هنوز قابل دفاع.
• ۲۰٪: دقیق ≈ ۳٫۸ سال؛ ۷۲/r = ۳٫۶ — برای پست شبکهٔ اجتماعی OK، برای قرارداد نه.
• ۳۰٪: دقیق ≈ ۲٫۶ سال؛ ۷۲/r = ۲٫۴ — شروع انحراف محسوس.
• ۵۰٪: دقیق ≈ ۱٫۷ سال؛ ۷۲/r = ۱٫۴ — بیش از ۱۵٪ خطا.
• ۱۰۰٪: دقیق ۱ سال؛ ۷۲/r = ۰٫۷۲ — تقریب تقریباً بی‌معنی برای «سال».

وقتی در تبلیغ «سود روزانهٔ X» می‌بینید، اول annualize کنید، بعد EAR بگیرید، بعد — اگر r هنوز زیر ۲۰٪ بود — ۷۲. اگر annualized از ۳۰٪ گذشت، مستقیم مرکب بزنید و years را از log استخراج کنید.

قانون ۷۲ و واریز دوره‌ای (چرا جواب نمی‌دهد)

تصور کنید هر ماه ۲ میلیون اضافه می‌کنید و ۱۰۰ میلیون اولیه دارید. «دو برابر ۱۰۰» دیگر معنی ندارد — شما زودتر از ۷۲/r به ۲۰۰ کل می‌رسید، ولی بخش بزرگ از ۲۰۰ از واریز است نه سود روی ۱۰۰. برای DCA، مقایسهٔ خرید دوره‌ای و ارزش آینده مسیر درست‌اند. در کلاس می‌توانید بگویید: «۷۲ فقط برای پولی است که یک‌بار نشسته و رشد می‌کند.»

نیم‌عمر بدهی (آینهٔ تاریک)

اگر بدهکار هستید و APR بالا دارید، ۷۲/r تقریباً می‌گوید ماندهٔ بدهی اگر فقط سود بپردازید چقدر طول می‌کشد دو برابر شود — هشدار ترسناک برای کارت ۳۶٪ سالانه. برای بستن بدهی، نرخ مؤثر و برنامهٔ اضافه‌پرداخت مهم‌تر از ۷۲ است؛ ولی ۷۲ برای shock therapy آموزشی کار می‌کند.

تمرین خانگی بدون اکسل

1. نرخ سپردهٔ خود را از جدول بردارید.
2. ۷۲ ÷ نرخ را حساب کنید.
3. همان نرخ را در APR→EAR با m=۱۲ بگذارید و دوباره ۷۲ ÷ EAR.
4. فاصلهٔ دو افق را برای خودتان توضیح دهید — تفاوت همان «اسم vs مؤثر».
5. اگر هدف زمانی دارید، واریز لازم را باز کنید؛ ۷۲ دیگر نقش ندارد.

چرا در فین‌آی جدا از مرکب است

فرم قانون ۷۲ فقط یک تقسیم است تا در موبایل سریع باشد؛ مرکب سپرده پله‌پله مانده را نشان می‌دهد. از همین صفحه به هر دو لینک بدهید: یکی برای سخنرانی، یکی برای ماندهٔ دقیق. صندوق اضطراری افق کوتاه دارد — ۷۲ روی ۵٪ می‌گوید ۱۴ سال برای دوبرابر؛ یعنی اضطراری را با سود سپرده «سریع» دوبرابر نکنید، با واریز منظم پر کنید.

۷۲ و «نیم‌شدن» پول (قانون ۷۰ تقریبی)

زمان نیم‌شدن real value با تورم بالا: roughly ۷۲ ÷ نرخ تورم برای nominal بدون سود — اگر تورم ۳۶٪ و سپرده ۲۰٪، real return منفی است و قدرت خرید «نیم» می‌شود سریع‌تر از ۷۲÷۲۰. اینجا ۷۲ ابزار آموزش nominal است؛ برای purchasing power از بازده واقعی استفاده کنید. در کلاس مالی خانگی، سه عدد کنار هم بنویسید: APR سپرده، EAR، و ۷۲÷EAR — سه خط، یک داستان.

در جمع‌بندی: برای نرخ سالانهٔ زیر ۱۵٪، ۷۲ ÷ r در مذاکره و آموزش خانواده کافی است؛ بین ۱۵ تا ۲۵٪ با احتیاط و کنار EAR بخوانید؛ بالای ۲۵٪ فقط برای ترتیب بزرگی، نه برای قرارداد. تبدیل APR به EAR و سپس مرکب، جایگزین دقیق‌تر است.

این صفحه آموزشی است؛ بازده گذشته، نرخ مصوب فردا، و رفتار بازار سهام را پیش‌بینی نمی‌کند.