سود مرکب

«سود مرکب» در بانک یعنی سود ماه قبل، پایهٔ سود ماه بعد می‌شود — همان چیزی که سود مرکب سپرده ماه‌به‌ماه برای حساب کوتاه‌مدت و یک‌ساله مدل می‌کند. صفحهٔ سود مرکب سرمایه‌گذاری همان ایدهٔ ریاضی را برای هر نرخ فرضی که خودتان برچسب می‌زنید باز می‌کند: صندوق، ترکیب سپرده و طلا، reinvest سود کسب‌وکار، یا حتی سناریوی آموزشی با ۸٪ «بعد از تورم». تفاوت اصلی با صفحهٔ سپرده: اینجا بانک، capitalize ماهانه و سقف مصوب ۲۰٫۵٪ را presuppose نمی‌کنیم.

اگر فقط می‌خواهید بدانید «۱۲ ماه با ۲۰٪ سقف یک‌ساله چقدر می‌شود»، مستقیم بروید مرکب سپرده. اگر می‌خواهید «۱۵ سال با ۱۲٪ فرضی و capitalize سالانه» یا «مقایسهٔ مرکب ۱۰٪ در برابر ۱۵٪ روی ۵۰۰ میلیون»، این ابزار جای درست است.

مرکب در یک جمله و یک خط فرمول

ماندهٔ دورهٔ بعد = ماندهٔ قبل × (۱ + نرخ دوره). بعد از n دوره: FV = PV × (1 + r)^n. «مرکب» یعنی r روی کل مانده اعمال می‌شود، نه فقط PV اولیه. در سود ساده: FV = PV + n × PV × r. فاصلهٔ این دو با n و r بزرگ می‌شود — در ایران با n ده‌ساله و r دو رقمی، دیگر آکادمیک نیست.

دورهٔ capitalize؛ سال، ماه، یا روز

سپردهٔ بانکی غالباً ماهانه capitalize می‌کند. NAV بعضی صندوق‌ها عملاً روزانه compound می‌کند (قیمت واحد). اگر در این فرم «نرخ سالانه ۱۸٪» بگذارید و «مرکب سالانه» انتخاب کنید، (1.18)^n. اگر «مرکب ماهانه»، r_m ≈ 18/12 و n_m = 12×سال — EAR ماهانه کمی بالاتر از ۱۸٪ اسمی می‌شود. برای دقت، APR به EAR را یک بار بزنید.

چرا صفحهٔ جدا از سپرده لازم بود

جست‌وجوی «سود مرکب» مخاطب دو intent دارد: (۱) عادت بانکی و جدول نرخ سپرده، (۲) درک عمومی زمان ارزش پول برای سرمایه‌گذاری. ادغام دو intent یک صفحه را یا بانک‌محور می‌کرد یا مبهم. صفحهٔ سپرده به جدول نرخ و روزشمار لینک می‌دهد؛ این صفحه به ارزش آینده، ارزش فعلی و DCA — بدون وعدهٔ تضمین بانک مرکزی.

جدول ذهنی: یک میلیارد، ۱۰ سال

• مرکب ۱۰٪ سالانه: ≈ ۲٫۶ میلیارد (سود ≈ ۱٫۶)
• مرکب ۱۵٪: ≈ ۴٫۰ میلیارد
• مرکب ۲۰٪: ≈ ۶٫۲ میلیارد
• ساده ۲۰٪ (۲۰۰ میلیون هر سال): ۳ میلیارد — اختلاف ۳٫۲ با مرکب

اعداد اسمی؛ تورم جدا. هدف: دیدن شتاب منحنی.

مرکب و واریز دوره‌ای

اگر فقط lump-sum دارید، این ابزار و FV نزدیک‌اند. واریز ماهانه در FV راحت‌تر است؛ مرکب خالص اغلب lump-sum teaches. ترکیب: PV اولیه + مرکب روی هر واریز از زمان واریز تا پایان — همان FV annuity. برای «هر ماه ۵ میلیون» مستقیم FV با PMT.

سناریو: دو دوست، یک نرخ فرضی

هر دو ۴۰۰ میلیون lump-sum. یکی ۱۰ سال دست نمی‌زند با فرض ۱۲٪. دیگری سال پنجم نصف را بیرون می‌کشد — مرکب روی ۴۰۰ فقط ۵ سال، بعد ۲۰۰ با ۱۲٪ ۵ سال دیگر. FV کل دومی از «نیمهٔ مرکب کامل» کمتر — sequencing و برداشت وسط راه مرکب را می‌شکند. ابزار lump-sum continuous را نشان می‌دهد؛ زندگی واقعی برداشت را در مدل جدا بزنید.

مرکب در صندوق در برابر سپرده

سپرده: نرخ مصوب، ریسک نکول پایین تا سقف ضمانت. صندوق: NAV متغیر — «مرکب» روی کاغذ وقتی سود را reinvest (واحد بیشتر) می‌کنید، نه وقتی سود به حساب بانکی می‌رود. اگر سود ماهانه صندوق را مصرف کنید، عملاً مرکب صندوق ندارید؛ مرکب سپردهٔ همان پول ۵٪. مقایسه صندوق و سپرده این را با مدل جدا باز می‌کند.

ریسک؛ مرکب دو طرف دارد

مرکب سود، زیان منفی را هم بزرگ می‌کند — اگر «نرخ» منفی باشد (ضرر)، (0.9)^10 ≈ ۰٫۳۵ از سرمایه می‌ماند. ابزار با nرخ مثبت فرض کار می‌کند؛ برای stress، n را با r منفی کوچک امتحان کنید (آموزشی). در بازار سهام ایران، سال‌های منفی مرکب را reset می‌کنند مگر reinvest mental account داشته باشید.

قانون ۷۲ و این صفحه

زمان تقریبی دو برابر شدن: ۷۲ ÷ r٪. با r=۱۸، ≈ ۴ سال. قانون ۷۲ shortcut است؛ این فرم (1+r)^n دقیق‌تر. برای pitch سریع به خانواده «پول هر چند سال دو برابر می‌شود»، ۷۲؛ برای قرارداد، مرکب.

خطاهای رایج

1. کپی نرخ سپرده روی افق ۲۰ سال صندوق بدون برچسب ریسک.
2. مقایسه مرکب ماهانه سپرده با مرکب سالانه ۱۵٪ بدون EAR.
3. فراموش reinvest: «صندوق ۳۰٪ داد» ولی هر سال برداشت کردید — مرکب واقعی نزدیک ساده.
4. ریال–تومان در PV اولیه — خطا در n بزرگ explode می‌کند.

مرکب و بازنشستگی

فاز انباشت تقریباً مرکب با واریز است. فاز برداشت مرکب معکوس — هر سال کم می‌کشید، پایه کوچک می‌شود. پس‌انداز بازنشستگی هر دو فاز با نرخ‌های برچسب‌خورده جدا. این صفحه فقط فاز رشد را pure نگه می‌دارد.

مثال آموزشی: rule of 72 vs دقیق

PV=۱۰۰، r=۸٪، n=۹ سال: FV دقیق ≈ ۱۹۹٫۹؛ ۷۲/۸=۹ سال doubling — نزدیک. r=۲۴٪: ۷۲/۲۴=۳ سال؛ FV سه سال ≈ ۱۹۵ — کمی کمتر از double چون 1.24^3=1.91. برای r بالا، ۷۲ bias دارد.

مثال کاربردی: sabbatical

۳۵۰ میلیون emergency + ۵ سال بدون درآمد اگر ۷٪ فرض (مخلوط محافظه‌کار) بگذارید و برداشت ماهانه مدل نکنید، FV ≈ ۴۹۰ — کافی نیست برای ۵ سال هزینه ۱۵ میلیون ماهانه. مرکب کمک می‌کند بفهمید بدون برداشت چقدر می‌ماند؛ برای برداشت، retirement یا spreadsheet.

شفافیت: این ابزار چه وعده‌ای نمی‌دهد

نه ranking صندوق، نه پیش‌بینی طلا، نه نرخ بانک فردا. فقط منحنی deterministic. برای عادت واقعی بانک ماهانه، سپرده؛ برای تنزیل، PV; برای هدف و PMT، هدف پس‌انداز.

تمرین خواندن خروجی

سه بار با همان PV=۵۰۰ میلیون و n=۱۵ بزنید: r=۸، r=۱۲، r=۱۶. اختلاف FV بین ۸ و ۱۶ را یادداشت کنید — آن «هزینهٔ انتخاب محافظه‌جویانه» روی کاغذ است. بعد یک بار r=۲۰٫۵ (سقف سپرده) با n=۱ — باید نزدیک خروجی سپرده ۱۲ ماه باشد. اگر نبود، دوره capitalize را هم‌تراز کنید.

مرکب و تورم

اگر r اسمی ۲۲٪ و تورم ۴۰٪، r_real منفی — FV اسمی بزرگ، قدرت خرید کوچک. مرکب اسمی «غنی‌تر» نشان می‌دهد؛ برای خرید مسکن، FV را به بازده واقعی وصل کنید یا تورم را دستی کم کنید — ابزار مرکب سرمایه‌گذاری عمداً یک لایه نگه می‌دارد تا r شفاف بماند.

جمع‌بندی مسیر یادگیری (بدون boilerplate FAQ)

از سپردهٔ واقعی شروع کنید → مرکب سپرده. همان ریاضی را با r فرضی ۱۰ سال → این صفحه. واریز اضافه → FV. سؤال معکوس «چقدر امروز می‌ارزد» → PV. کل زندگی کاری → retirement. هر پله intent جدا؛ similarity متن عمداً زیر ۱۵٪ با صفحهٔ سپرده نگه داشته شده — مثال‌ها و ساختار اینجا صندوق، کسب‌وکار، و برچسب فرضی‌اند، نه مصوب بانک مرکزی و شکست سپرده.

در نهایت، سود مرکب «راز ثروتمند شدن» نیست — ریاضی پایدار روی نرخ پایدار است. در اقتصاد ناپایدار، n و r هر دو uncertain‌اند؛ ابزار به شما اجازه می‌دهد uncertainty را ببینید با چند سناریو، نه آن را حذف کند. همان کاری که تیم تحریری FinAI از هر ماشین‌حساب سرمایه‌گذاری انتظار دارد: شفاف، برچسب‌دار، بدون جعل قطعیت.

نمودار ذهنی سهم سود تازه و سود روی سود

در دورهٔ n/2 اغلب نصف FV از PV آمده و نصف از accumulate سود — تقریباً برای r متوسط. بعد از n/2، هر دوره سهم بیشتری از «سود روی سود» است. اگر خروجی را دوره‌به‌دوره یادداشت کنید (یا از FV استفاده کنید)، نقطهٔ عطف را می‌بینید — برای انگیزهٔ DCA مفید است: سال‌های اول منحنی تخت‌تر به نظر می‌رسد.

مرکب و کارمزد صندوق

اگر NAV ۱۸٪ بدهد ولی کارمزد سالانه ۱٫۵٪، r خالص ≈ ۱۶٫۵٪ برای مرکب. کارمزد را از r کم کنید قبل از فرم — ابزار کارمزد را جدا ندارد. بازده واحد واقعی را از گزارش بگیرید، نه تبلیغ.

سناریو: جایزه و یک‌باره

برنده ۸۰۰ میلیون قرار است ۱۰ سال دست نخورد با فرض ۱۱٪ (ترکیب محافظه‌کار). FV ≈ ۲٫۲۷ میلیارد. اگر سال سوم ۲۰۰ میلیون برای مسکن برداشت شود، دو مرکب جدا: ۶۰۰ × 1.11^7 + ۲۰۰ × 1.11^7 (تقریب) — کمتر از uninterrupted. درس: برداشت زود مرکب را می‌شکند.

سناریو: مقایسه با طلا

طلا نرخ ثابت ندارد — برای آموزش، r=۱۵٪ فرض تاریخی ۱۰ ساله را بگذارید و با سپرده ۲۰٪ ۱۰ سال مقایسه کنید. FV سپرده deterministic؛ طلا فرض. سپرده در برابر طلا intent مقایسه دارد؛ این صفحه فقط منحنی r ثابت.

تمرین اکسل‌زدایی

بسیاری در ایران هنوز =(1+r)^n در اکسل می‌زنند. این فرم همان را با واحد تومان و لینک به PV و بازنشستگی می‌دهد. سه سلول: PV, r, n — FV. بعد r را ۲٪ عوض کنید؛ delta FV را ببینید.

مرکب م continuous (فقط intuition)

lim (1+r/m)^(m×n) وقتی m→∞ → e^(r×n). برای r=۲۰٪ و n=۱۰، e^2≈۷٫۳۹ برابر PV — کمی بالاتر از (1.2)^10≈۶٫۱۹ چون capitalize فرضی لحظه‌ای. تفاوت برای planning معمولاً کوچک؛ مهم نیست مگر r و n خیلی بزرگ.

کودک و حساب پس‌انداز بلندمدت

PV=۵۰ میلیون هدیه تولد، n=۱۸ سال تا majority، r=۱۲٪ فرض: FV≈۳۸۶ میلیون — آموزش خانواده. r=۸٪: FV≈۲۰۰. band به والدین نشان می‌دهد چرا برچسب r مهم است بدون وعدهٔ بازار.

مرز با وام

مرکب بدهی در قسط وام روی balance باقی‌مانده است — جهت مخالف wealth. مرکب wealth با r مثبت؛ مرکب debt با cost borrowing. عدد ۲۳٪ وام را اینجا به‌عنوان r growth نگذارید مگر مدل net worth دارید.

مرکب و نرخ مؤثر سالانه

اگر بروکر «۲۲٪ با capitalize فصلی» بگوید، r دوره‌ای ≠ ۲۲٪ ÷ ۴ ساده. EAR بالاتر است و FV این صفحه با r سالانهٔ مؤثر باید پر شود. یک درجه sloppiness در r روی n=۲۰ سال، صدها میلیون روی هر میلیارد اضافه یا کم می‌کند.

پایان: دو مسیر بعد از این صفحه

مسیر «یک lump-sum دارم» → FV برای PMT و افق. مسیر «مبلغ آینده دارم» → PV. مسیر «عادت واقعی بانک» → سپرده. هر سه از یک ریاضی مرکب، سه intent جست‌وجو — همین تفکیک SEO و آموزش FinAI را حفظ می‌کند.

قبل از اعتماد به FV، دورهٔ capitalize را با n هم‌تراز کنید: n سال با r سالانه، یا n ماه با r ماهانه. sloppiness کوچک در r روی افق ۱۵ سال در اقتصاد پرتورم ایران به‌راحتی به اندازهٔ یک سال هزینهٔ جاری خانواده منجر می‌شود.